応力テンソルと不変量

材料力学 物性

不変量



\begin{eqnarray}

I_1 &=& \sigma_{1} +  \sigma_{2} +  \sigma_{3} \\
I_2 &=& \sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1\\
I_3 &=& \sigma_1\sigma_2\sigma_3
\end{eqnarray}

平均応力は第一不変量I1から計算する。


\sigma_m =  \frac{1}{3}I_1

偏差応力関係



\begin{eqnarray}

J_1 &=& \sigma_{11} +  \sigma_{22} +  \sigma_{33} - 3\sigma_m = 0 \\
J_2 &=& \frac{1}{6}\{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\} \\
 &=& (\sigma_{11}-\sigma_{22})^2+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^2+(\sigma_{33}-\sigma_{11})^2+6(\sigma_{12}^2+\sigma_{23}^2+\sigma_{31}^2) \\
J_3 &=& (\sigma_1-\sigma_m)(\sigma_2-\sigma_m)(\sigma_3-\sigma_m)

\end{eqnarray}

ミーゼス応力は偏差応力のJ2から計算されて


\sigma_{vms} = \sqrt{(3J_2)}

主応力空間

平均応力を主応力空間でプロットすると（等高線）、正負があることがわかります。すなわち、引張と圧縮に区別があります。

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一方、ミーゼス応力には正負はありません。

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適当に混ぜたりすると、圧縮と引張の区別がありつつも偏差成分らしきものが作れます。下の論文とかに出てきます（なお、日本語の方は式中でI1が抜けている気がするので注意）。

コンクリートの破壊力学に基づく等方性損傷モデルの定式化とその性能評価

https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2016.01.020

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